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ASIGNATURA DE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Este blog esta dirijido a los alumnos de la carrera de Ingeniería Industrial que se da en la FES ARAGÓN de la UNAM para el ciclo escolar 2011-I. Desde este espacio se irá publicando la información complementaria referente a este curso de Cálculo Diferencial e Integral, y que deberán tener como respaldo para contestar completo cada examen, así como tareas. Por otro lado, podrán encontrar links a videos, libros, foros y noticias recientes en México y el Mundo.
DATOS PERSONALES
- IRGL
- Soy Ingeniero Civil, egresado de la Facultad de Estudios Superiores Aragón de la UNAM, mi experiencia como profesionista ha sido en Comisión Nacional del Agua (CONAGUA), Secretaría de Desarrollo Urbano y Vivienda (SEDUVI), INMOBILIARIA ALHEL (ALHEL), Ingenieros Civiles Asociados (ICA), y CONSTRUCTORA VIRGO. Actualmente estoy dedicado en un 100% al ejercicio de la docencia.
TEMA I "FUNCIONES"
Objetivo:
Discutir el concepto de función y sus características principales, para aplicarlos en la formulación y manejo de modelos matemáticos.
Contenido:
I.1 Definición de función real de variable real y su representación gráfica. Definición de dominio, codominio y recorrido. Notación funcional.
Discutir el concepto de función y sus características principales, para aplicarlos en la formulación y manejo de modelos matemáticos.
Contenido:
I.1 Definición de función real de variable real y su representación gráfica. Definición de dominio, codominio y recorrido. Notación funcional.
INTRODUCCIÓN
ANTECEDENTES HISTÓRICOS
El cálculo infinitesimal es la rama de las matemáticas que comprenden el estudio y aplicaciones del cálculo diferencial y del cálculo integral.
El cálculo diferencial se origina en el siglo XVII al realizar estudios sobre el movimiento, es decir, al estudiar la velocidad de los cuerpos al caer al vacío ya que cambia de un momento a otro; la velocidad en cada instante debe calcularse, teniendo en cuenta la distancia que recorre en un tiempo infinitesimalmente pequeño.
En 1666, el científico inglés Isaac Newton fue el primero en desarrollar métodos matemáticos para resolver problemas de esta índole.
Casi al mismo tiempo el filosofo y matemático alemán Gottfried Leibniz realizó investigaciones similares e ideando símbolos matemáticos que se aplican hasta nuestros días.
Destacan otros matemáticos por haber hecho trabajos importantes relacionados con el cálculo diferencial, sobresale entre otros, Pierre Fermat matemático francés, quién en su obra habla de los métodos diseñados para determinar los máximos y mínimos, acercándose casi al descubrimiento del cálculo diferencial.
Dicha obra influencio a Leibniz en la invención del cálculo diferencial, Fermat dejó casi todos sus teoremas sin demostrar, ya que por aquella época era común entre los matemáticos el plantearse problemas unos a otros, por lo que frecuentemente se ocultaba el método propio de solución, con el fin de reservarse el éxito para sí mismo y para su nación; ya que había una gran rivalidad entre los Franceses, Alemanes y los Ingleses; razón por la cual las demostraciones de Fermat se hayan perdido.
Nicolas Oresme obispo de la comunidad de Lisieux en Francia, estableció que en la proximidad del punto de una curva en que la ordenada se considera máxima o mínima, dicha ordenada varía más pausadamente.
Johannes Kepler tiempo después, coincide con lo establecido por Oresme, conceptos que permitieron a Fermat en su estudio de máximos y mínimos, las tangentes y las cuadraturas, igualar a cero la derivada de la función, debido a que la tangente a la curva en los puntos en que la función tiene su máximo o su mínimo, es decir, la función es paralela al eje “x” donde la pendiente de la tangente es nula.
Isaac Barrow maestro de Newton, quién por medio del “triángulo característico”, en donde la hipotenusa es un arco infinitesimal de curva y sus catetos son incrementos infinitesimales en que difieren las abscisas y las ordenadas de los extremos del arco.
Newton concibió el método de las “fluxiones”, considerando a la curva como la trayectoria de un punto que fluye; denomina “momento” de la cantidad fluente al arco mucho muy corto recorrido en un tiempo excesivamente pequeño, llamando la razón del momento al tiempo correspondiente, es decir, la velocidad.
Por lo tanto “fluente” es la cantidad variable que se identifica como “función”; “fluxión” es la velocidad o rapidez de variación de la fluente que se identifica como la “derivada”; al incremento infinitesimal o instantáneo de la fluente se le llama “momento” que se identifica como la “diferencial”.
Este principio establece que “los momentos de las funciones son entre sí como sus derivadas”
La concepción de Leibniz se logra al estudiar el problema de las tangentes y su inverso, basándose en el triángulo característico de Barrow, observando que el triángulo es semejante al que se forma con la tangente, la subtangente y la ordenada del punto de tangencia, así mismo, es igual al triángulo formado por la normal, la subnormal y la ordenada del mismo punto. Los símbolos “dx, dy/dx”, la palabra “derivada” y el nombre de “ecuaciones diferenciales” se deben a Leibniz.
Agustin Louis Cauchy matemático francés, impulsor del cálculo diferencial e integral autor de la teoría de las funciones variables complejas, basándose para ello en el método de los límites; la definición de “función de función” y la de “función compuesta”, también se deben a Cauchy.
Jacobo Bernoulli introduce la palabra “función” en el cálculo diferencial y la simbología “f(x)” se debe a Leonard Euler, ambos matemáticos suizos. John Wallis enuncia el concepto de “límite” y la representación simbólica “lím” se debe a Simon Lhuilier, el símbolo tiende a “®” lo implanto J. G. Leathem.
Los procesos generales y las reglas prácticas sencillas del cálculo diferencial se deben a Newton y Leibniz; sin embargo, por más de 150 años el cálculo diferencial continuó basándose en el concepto de lo infinitesimal.
En el siglo XIX se han encontrado bases más firmes y lógicas al margen de lo infinitamente pequeño. El cálculo diferencial se ha ido desarrollando a través de los años, consolidándose en una herramienta técnico-científica que se utiliza en el análisis de procesos que contienen magnitudes en constante cambio, por ejemplo: la velocidad de las reacciones químicas, los cambios atmosféricos, los desarrollos sociales y económicos de las naciones, en la astronomía, la estadística, etc.
A Newton y Leibniz se les llama fundadores del cálculo ya que fueron los primeros en estudiar el problema geométrico fundamental del cálculo diferencial, que se denomina “problema de las tangentes” en el cual hay que hallar las rectas tangentes a una curva dada.
EJERCICIO 1
Responda a las siguientes preguntas.
1. ¿Qué estudia el cálculo infinitesimal?
2. ¿Qué bases dieron origen al cálculo diferencial?
3. Nombre de los fundadores del cálculo diferencial.
4. Cite la aportación de Pierre Fermat al cálculo diferencial.
5. Escriba los conceptos que estableció Oresme en el estudio de los máximos y mínimos.
6. Escriba el estudio de Barrow sobre el triángulo característico.
El cálculo infinitesimal es la rama de las matemáticas que comprenden el estudio y aplicaciones del cálculo diferencial y del cálculo integral.
El cálculo diferencial se origina en el siglo XVII al realizar estudios sobre el movimiento, es decir, al estudiar la velocidad de los cuerpos al caer al vacío ya que cambia de un momento a otro; la velocidad en cada instante debe calcularse, teniendo en cuenta la distancia que recorre en un tiempo infinitesimalmente pequeño.
En 1666, el científico inglés Isaac Newton fue el primero en desarrollar métodos matemáticos para resolver problemas de esta índole.
Casi al mismo tiempo el filosofo y matemático alemán Gottfried Leibniz realizó investigaciones similares e ideando símbolos matemáticos que se aplican hasta nuestros días.
Destacan otros matemáticos por haber hecho trabajos importantes relacionados con el cálculo diferencial, sobresale entre otros, Pierre Fermat matemático francés, quién en su obra habla de los métodos diseñados para determinar los máximos y mínimos, acercándose casi al descubrimiento del cálculo diferencial.
Dicha obra influencio a Leibniz en la invención del cálculo diferencial, Fermat dejó casi todos sus teoremas sin demostrar, ya que por aquella época era común entre los matemáticos el plantearse problemas unos a otros, por lo que frecuentemente se ocultaba el método propio de solución, con el fin de reservarse el éxito para sí mismo y para su nación; ya que había una gran rivalidad entre los Franceses, Alemanes y los Ingleses; razón por la cual las demostraciones de Fermat se hayan perdido.
Nicolas Oresme obispo de la comunidad de Lisieux en Francia, estableció que en la proximidad del punto de una curva en que la ordenada se considera máxima o mínima, dicha ordenada varía más pausadamente.
Johannes Kepler tiempo después, coincide con lo establecido por Oresme, conceptos que permitieron a Fermat en su estudio de máximos y mínimos, las tangentes y las cuadraturas, igualar a cero la derivada de la función, debido a que la tangente a la curva en los puntos en que la función tiene su máximo o su mínimo, es decir, la función es paralela al eje “x” donde la pendiente de la tangente es nula.
Isaac Barrow maestro de Newton, quién por medio del “triángulo característico”, en donde la hipotenusa es un arco infinitesimal de curva y sus catetos son incrementos infinitesimales en que difieren las abscisas y las ordenadas de los extremos del arco.
Newton concibió el método de las “fluxiones”, considerando a la curva como la trayectoria de un punto que fluye; denomina “momento” de la cantidad fluente al arco mucho muy corto recorrido en un tiempo excesivamente pequeño, llamando la razón del momento al tiempo correspondiente, es decir, la velocidad.
Por lo tanto “fluente” es la cantidad variable que se identifica como “función”; “fluxión” es la velocidad o rapidez de variación de la fluente que se identifica como la “derivada”; al incremento infinitesimal o instantáneo de la fluente se le llama “momento” que se identifica como la “diferencial”.
Este principio establece que “los momentos de las funciones son entre sí como sus derivadas”
La concepción de Leibniz se logra al estudiar el problema de las tangentes y su inverso, basándose en el triángulo característico de Barrow, observando que el triángulo es semejante al que se forma con la tangente, la subtangente y la ordenada del punto de tangencia, así mismo, es igual al triángulo formado por la normal, la subnormal y la ordenada del mismo punto. Los símbolos “dx, dy/dx”, la palabra “derivada” y el nombre de “ecuaciones diferenciales” se deben a Leibniz.
Agustin Louis Cauchy matemático francés, impulsor del cálculo diferencial e integral autor de la teoría de las funciones variables complejas, basándose para ello en el método de los límites; la definición de “función de función” y la de “función compuesta”, también se deben a Cauchy.
Jacobo Bernoulli introduce la palabra “función” en el cálculo diferencial y la simbología “f(x)” se debe a Leonard Euler, ambos matemáticos suizos. John Wallis enuncia el concepto de “límite” y la representación simbólica “lím” se debe a Simon Lhuilier, el símbolo tiende a “®” lo implanto J. G. Leathem.
Los procesos generales y las reglas prácticas sencillas del cálculo diferencial se deben a Newton y Leibniz; sin embargo, por más de 150 años el cálculo diferencial continuó basándose en el concepto de lo infinitesimal.
En el siglo XIX se han encontrado bases más firmes y lógicas al margen de lo infinitamente pequeño. El cálculo diferencial se ha ido desarrollando a través de los años, consolidándose en una herramienta técnico-científica que se utiliza en el análisis de procesos que contienen magnitudes en constante cambio, por ejemplo: la velocidad de las reacciones químicas, los cambios atmosféricos, los desarrollos sociales y económicos de las naciones, en la astronomía, la estadística, etc.
A Newton y Leibniz se les llama fundadores del cálculo ya que fueron los primeros en estudiar el problema geométrico fundamental del cálculo diferencial, que se denomina “problema de las tangentes” en el cual hay que hallar las rectas tangentes a una curva dada.
EJERCICIO 1
Responda a las siguientes preguntas.
1. ¿Qué estudia el cálculo infinitesimal?
2. ¿Qué bases dieron origen al cálculo diferencial?
3. Nombre de los fundadores del cálculo diferencial.
4. Cite la aportación de Pierre Fermat al cálculo diferencial.
5. Escriba los conceptos que estableció Oresme en el estudio de los máximos y mínimos.
6. Escriba el estudio de Barrow sobre el triángulo característico.
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